Вычисление поверхностей и объемов тел

Призма

В — площадь основания;
В’ — площадь перпендикулярного сечения;
h — высота;
l — боковое ребро;
Р’ — периметр перпендикулярного сечения

Боковая поверхность призмы,

108-1-3

Объем призмы

108-1-2

Куб

a – ребро;
d – диагональ

Полная поверхность куба, Sп

108-2-2

Объем куба

108-2-3

Прямоугольный параллелепипед

a, b, c – ребра;
d – диагональ

Полная  поверхность параллелепипеда,

108-3-2

Объем параллелепипеда

108-3-3

Пирамида

В – площадь основания;
Р — периметр основания;
h — высота;
а — апофема (высота боковой грани в правильной пирамиде)

Боковая поверхность пирамиды,

108-5-2

Объем пирамиды

108-5-3

Усеченная пирамида

В и b — площади оснований;
h — высота;
Р и р — периметры оснований;
а — апофема

Боковая поверхность усеченной пирамиды,

108-6-2

Объем усеченной пирамиды

108-6-3

Призма, усеченная плоскостью, не параллельной основанию

В’ — площадь перпендикулярного сечения;
l— расстояние между центрами тяжести верхнего и нижнего оснований

-

Объем призмы усеченной плоскостью, не параллельной основанию

108-4-3

Призматоид — тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями (основания) и несколькими пересекающимися плоскостями (боковые грани): в основаниях могут лежать многоугольники с произвольным числом сторон, боковыми гранями могут быть треугольники или трапеции.
Призматоид, в основаниях которого — многоугольники с одинаковым числом сторон а боковые грани — трапеции, называется обелиском. Обелиск, в основаниях которого — подобные многоугольники, есть усеченная пирамида.
Если в основаниях обелиска — прямоугольники то обелиск называется понтоном. Клином называется тело, верхнее основание которого — прямая линия, нижнее — плоскость, ей параллельная, а боковые грани — треугольники, трапеции или параллелограммы; клин также является частным случаем призматоида

Призматоид

В, В1 и В2 – площади оснований и среднего сечения

-

Объем призматоида

108-7-3

Понтон

понтон

-

Объем понтона

109-1-3

Прямой цилиндр

В и Р — площадь и периметр основания;
h — высота

Боковая поверхность прямого цилиндра,

бок

Объем прямого цилиндра

объем

Прямой круговой цилиндр

R и D — радиус и диаметр основания;
h — высота

Боковая и полная Sп поверхность прямого кругового цилиндра

бок пол

Объем прямого кругового цилиндра

109-3-3

Прямой круговой цилиндр, усеченный непараллельно основанию

h1 и h2 — длины наибольшей и наименьшей образующих;
h — длина оси

Боковая поверхность прямого цилиндра, усеченного непараллельно основанию,

109-4-2


Объем прямого цилиндра, усеченного непараллельно основанию

109-6-3

Полый круглый цилиндр (труба)

R и r; D и d внешний и внутренний радиусы и диаметры;
δ – толщина стенки;
h – высота цилиндра

Боковая поверхность и полная поверхность Sп полого круглого цилиндра

109-6-2

Объем полого круглого цилиндра

109-8-3

Цилиндрическое копыто

рисунок копыта

Боковая поверхность цилиндрического копыта

109-6-11
* – угол в радианном измерении
Если основание копыта – полуокружность (a = b = R), то

109-6-22

Объем цилиндрического копыта

копыто
* – угол в радианном измерении
Если основание копыта – полуокружность (a = b = R), то

109-6-333

Круглый конус

R, D, H, l — радиус и диаметр основания, высота и образующая конуса

Боковая поверхность круглого конуса,

109-7-2

Объем круглого конуса

109-7-3

Усеченный конус

R, r, D, d — радиусы и диаметры нижнего и верхнего оснований;
h, l — высота и образующая усеченного конуса

Боковая поверхность усеченного конуса,

110-1-2

Объем усеченного конуса

110-1-3

Шар

R и D — радиус и диаметр шара

Поверхность шара, Sп

110-3-2

Объем шара

110-3-3

Шаровой сегмент

R – радиус шара
h – высота сегмента
шар
- радиус основания сегмента

Боковая поверхность шарового сегмента,

110-4-2

Объем шарового сегмента

110-4-3

Шаровой слой

110-5-1

Поверхность шарового слоя

110-5-2

Объем шарового слоя

110-5-3

Шаровой сектор

R – радиус шара
h – высота соответствующего сектора
шар
- радиус основания сегмента (т. е. радиус кругового ребра сектора)

Полная поверхность шарового сектора, Sп

110-6-2

Объем шарового сектора

110-6-3

Сферический клин

(часть шара, заключенная между двумя большими кругами)
ψ – угол между плоскостями больших кругов

Боковая поверхность сферического клина,

111-1-2

Объем сферического клина

111-1-3

Эллипсоид

a, b, с — полуоси

111-2-2 111-2-3

Параболоид вращения

R — радиус вращения;
h — высота

Боковая поверхность параболоида вращения,

111-3-2

Объем параболоида вращения

111-3-3

Усеченный параболоид вращения

R и r — радиусы оснований;
h — высота

-

Объем усеченного параболоида вращения

111-4-3

Усеченный эллиптический конус

Основания — эллипсы, главные полуоси которых а, b и a1, b1
высота усеченного конуса h

-

Объем усеченного эллиптического конуса

111-5-3

Бочка

d — диаметр дна
D — диаметр среднего сечения (втулочный)
h — длина (высота) бочки

-

Объем бочки

111-6-3

Top

(кольцо кругового сечения)
r — радиус кругового сечения
R —расстояние центра сечения от центра кольца

Поверхность тора

поверхность тора

Объем тора

111-7-3