Развертка поверхности витка шнека

Развертка поверхности прямого кольцевого винтового коноида

Развертка поверхности витка шнека

Рассмотрим прямой геликоид, который образован движением прямолинейной образующей NM по двум направляющим (цилиндрической винтовой линии и ее оси), причем во всех положениях образующая составляет с осью прямой угол и остается параллельной плоскости параллелизма (на рис.1 — горизонтальной плоскости).

Приближенная развертка одного витка представляет собой часть плоского кольца, заключенного между двумя концентрическими дугами (рис 2).

Рисунок 1

Развертка поверхности витка шнека

Рисунок 2

Длина L большой дуги равна длине одного витка внешней винтовой линии; длина l меньшей дуги равна длине витка внутренней винтовой линии. Радиусы дуг R 1 и r 1 и угол выреза α могут быть определены графически и аналитически.

Аналитический способ

Обозначим ширину винтовой поверхности b, причём b = D-d/2

Развертка поверхности витка шнека

Формула 1

Так как винтовые линии развертываются в две концентрические дуги при одном и том же центральном угле, а такие дуги относятся друг к другу как радиусы, то

Развертка поверхности витка шнека

Формула 2

Угол выреза α определяется из пропорции:

Развертка поверхности витка шнека

Формула 3

Развертка поверхности витка шнека, пример рассчета

Графический способ

Величины r 1, R 1 и α могут быть определены графическим построением (2 рис.б).
Строим прямоугольные треугольники АВС и ЕВС, у которых катет ВС = s = 48 мм, а катеты АС и ЕС равны длинам окружностей πD и πd. Величины πD и πd вычисляются или определяются следующим построением: проводим прямую Оа (б — правый нижний рисунок) под углом 30° к вертикальному диаметру до пересечения в точке а с касательной, проходящей через нижний конец того же диаметра. От точки а откладываем на касательной длину трех радиусов и полученную точка b соединяем с верхним концом диаметра. Отрезок bc равен половине длины окружности.

Гипотенузы построенных треугольников выражают длины развернутых винтовых линий L и l.
Для построений длины r 1 откладываем на АВ от точки А отрезок AF = l и от точки В отрезок ВК = b. Соединяем точки F и Е прямой EF и через точку К проводим прямую KN || EF до пересечения с BE в точке N.
Тогда отрезок BN = r 1 = 14 мм. (Действительно, из подобия треугольников BEF и BNK следует, что BN/BE = BK/BF. Но BN = r 1, BE = l, BK = b; BF = L — l. Отсюда r 1 = bl/(L — l).

Радиус R 1 = r 1 + b = 14 + 15 = 29 мм. Его можно найти и непосредственно построением, если через точку N провести прямую NM || AC до пересечения с АВ. Тогда отрезок ВМ = R 1 = 29 мм.

Для построения угла выреза α откладываем на окружности радиуса R 1 разность между длиной окружности 2π R 1 и длиной дуги L, равную 18 мм, и концы отложенной дуги соединяем с центром.

При больших значениях D, d и s выполнение вышеописанных построений в натуральную величину затруднительно. В таком случае следует пользоваться аналитическим способом или выполнять построения в уменьшенном масштабе, что снижает точность результата.

Выкроив из листа требуемое количество отдельных витков, можно образовать из них винтовую поверхность. Для присоединения витков к поверхности цилиндра диаметром d, на последней прочерчивают винтовую линию заданного шага s. Способы присоединения и соединения витков зависят от принятой технологии.

Развертка поверхности прямого винтового коноида переменной ширины

В данном случае внутренняя направляющая винтовая линия расположена на конусе, ширина поверхности коноида непрерывно изменяемая от максимальной величины b до минимальной b1.

Развертка поверхности витка шнека

Рисунок 3

Горизонтальная проекция внешней винтовой линии (цилиндрической ) является окружностью, а проекция внутренней винтовой линии (конической) представляет собой спираль Архимеда.

Для построения развертки определяют предварительно величины R 1 и α (формулы 1 — 3). Чертят окружность радиусом R 1 и наносят на ней центральный угол α. Полученную дугу, длина которой равна L, делят на несколько равных частей (на рис. 3 на 12) и проводят радиусы через точки деления. На радиусах откладывают последовательно длины отрезков 0 — 01; 1 — 11; 2 — 22 и т.д., взятые с горизонтальной проекции, где они изображаются в натуральную величину. Таким образом, получают ряд точек — 11; 21; 31;…121, соединяемых плавной кривой.

Развертка поверхности косого винтового геликоида

В данном случае, каждая образующая поверхности остается параллельной соответствующей образующей некоторого соосного конуса вращения с углом при вершине равным , который называется направляющим конусом.

Развертка поверхности витка шнека

Рисунок 4

Графический способ

Для построения развертки одного витка данной поверхности разбивают горизонтальную проекцию на равные части (например, на 12) и принимаю каждую из них за равнобокую трапецию.

Боковые стороны всех трапеций равны. Натуральную величину их дает фронтальная проекция 0′ – 0’1 = b — ширине поверхности.

Величина b может быть вычислена по формуле b = R — r/sinα.

Две другие стороны, например 0 — 1 и 01 — 11, равны соответственно 1/12 L и 1/12 l, где L и l — длины одного оборота внешней и внутренней винтовых линий. Для построения трапеции необходимо знать еще длину её диагонали, например 0 — 11. Определив любым известным способом истинную длину диагонали по её проекциям (011 и 0’1’1), строим приближенную развертку, как ряд примыкающих один к другому равных треугольников (рис. 4, б). Каждый треугольник строится по трем известным сторонам. Затем вершины треугольников обводятся плавной кривой.

Аналитический способ

Основан на изгибании поверхности косого геликоида на однополостный гиперболоид вращения, поверхность которого затем заменяется усеченным круговым конусом. Размеры развертки одного витка (рис. 4, в) определяется по формулам:

Развертка поверхности витка шнека

Формула 4

Развертка винтовой поверхности переменного шага

В рассмотренных выше примерах внешняя и внутренняя винтовые направляющие данных поверхностей имели один и тот же шаг. Для увеличения угла подъема внешней винтовой направляющей увеличивают её шаг.
Таким образом, винтовые направляющие имеют в этом случае разные шаги S и s, и сама поверхность называется винтовой поверхностью с переменным шагом.

Развертка поверхности витка шнека

На рис. 5 даны проекции ¼ полного оборота такой винтовой поверхности. Один конец образующей движется по винтовой линии шага S и радиуса R, а другой — по винтовой линии шага s и радиуса r.

При этом угол, под которым образующая пересекает вертикальную ось, уже не остается постоянным и отрезки образующей, заключенные между направляющими так же не равны между собой. Минимальная длина этих отрезков l0 = 001 = R — r; максимальная (l4) равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является фронтальная проекция 4′ – 4’1, а другим — горизонтальная проекция того же отрезка, т.е.

Рисунок 5

Развертка поверхности витка шнека

Построение приближенной развертки для ¼ полного витка произведено тем же способом, что и в предыдущем примере, но в данном случае приходится определять истинную длину каждой боковой стороны заменяемых трапециями отсеков поверхности и каждой диагонали. Это выполнено на рисунке 5 построением прямоугольных треугольников по известным из начертательной геометрии приемам.

Что касается двух других сторон всех отсеков, то они, как и в предыдущем примере, равны L/n и l/n, где n — принятое число делений одного оборота винтовых направляющих (в данном случае n = 16). Величины L и l определяются как указано выше (по формулам 2).

По материалам:
«Технические развертки изделий из листового металла» Н.Н. Высоцкая 1968 г. «Машиностроение»